Montrer et démontrer

La dualité d'Isbell ou les voies à double sens des raisonnements scientifiques
Arnaud VALENCE
Date de publication
4 juillet 2019
Résumé
De Hilbert à Girard, en passant par Gelfand et Grothendieck, nombre de grands mathématiciens ont, en l'espace d'un siècle, obtenu des résultats aussi spectaculaires que profonds. Ce que peu d'historiens ou philosophes des mathématiques ont perçu, c'est que ces résultats sont les sommets escarpés d'un puissant massif qui ne dit pas son nom. Ces mathématiciens affirment en réalité un nouveau constructivisme qui témoigne d'un renouveau du structuralisme mathématique. Alors que les mathématiques modernes nous ont appris comment construire toute forme d'action (disons des fonctions) à partir d'observables (disons des points), les mathématiques contemporaines nous ont montré comment, grâce à différents théorèmes de représentation, nous pouvons réciproquement reconstruire les ... Lire la suite
FORMAT
Livre broché
24.00 €
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Date de première publication du titre 20190704
ISBN 9791035103255
EAN-13 9791035103255
Référence 123873-09
Nombre de pages de contenu principal 240
Format 16 x 24 x 1.5 cm
Poids 408 g

Préface

Introduction
1. Montrer et démontrer
2. Le visuel et le textuel
3. Axiomatisation et représentation
4. L'abstraction généralisante
5. Sens de l'abstraction et naissance des mathématiques
6. Objets, opérations et objets-opérations
7. Les mouvements à double sens de l'abstraction
8. Dé-essentialisation des contenus mathématiques
9. Ruptures paradigmatiques
10. La dualité formalisée
11. Les thèses

I SCIENCES ABSTRAITES

1 Mathématiques
1. Introduction
2. Géométrie algébrique : la dualité Sch ? Ringop
3. Géométrie algébrique dérivée : la dualité DStk ? DGAopk
4. Topologie algébrique : la dualité Sob ? SFrmop
5. Analyse fonctionnelle : la dualité Top etc ? Stellopcom
6. Théorie des catégories : la dualité CoPSh ? PSh

2 Logique
1. De la théorie de la démonstration à la géométrie de l'interaction107
2. La géométrie de l'interaction dans les catégories
3. Une reconstruction de la notion de type
4. Conclusion et ouverture

II SCIENCES APPLIQUÉES

3 L'économie et la théorie de l'équilibre général
1. Ruptures paradigmatiques et économie
2. La question de l'auto-régulation du marché
3. La question de l'objectivité de la rareté
4. P3
5. Conclusion

4 L'épistémologie et la théorie du problème
1. La théorie de l'enquête de Dewey
2. La mathématique de l'enquête
3. Au-delà de la mathématique de l'enquête
4. Limites et ouverture

Conclusion
Sur le rapport de P3 avec la dualité local/global
Sur la fécondité des situations espace-action
Sur les caractères pré-platonicien et pré-hégélien de P3

Index

Bibliographie

Liste des figures

Liste des tableaux

De Hilbert à Girard, en passant par Gelfand et Grothendieck, nombre de grands mathématiciens ont, en l'espace d'un siècle, obtenu des résultats aussi spectaculaires que profonds. Ce que peu d'historiens ou philosophes des mathématiques ont perçu, c'est que ces résultats sont les sommets escarpés d'un puissant massif qui ne dit pas son nom. Ces mathématiciens affirment en réalité un nouveau constructivisme qui témoigne d'un renouveau du structuralisme mathématique. Alors que les mathématiques modernes nous ont appris comment construire toute forme d'action (disons des fonctions) à partir d'observables (disons des points), les mathématiques contemporaines nous ont montré comment, grâce à différents théorèmes de représentation, nous pouvons réciproquement reconstruire les espaces d'observables à partir de la seule notion d'action. Cet ouvrage poursuit une triple ambition. Il vient d'abord combler une lacune: la relative indigence de la littérature philosophique consacrée à ce constructivisme représentationnaliste. Il avance ensuite une thèse structuraliste en proposant de rassembler les dualités géométrie/algèbre sous une structure mathématique unifiée appelée dualité d'Isbell. Il montre enfin comment ce constructivisme peut être fécond pour les sciences appliquées, en proposant de revisiter deux théories dans deux champs disciplinaires différents: la théorie de l'équilibre général (économie) et la théorie du problème (épistémologie).

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