Ce livre est une étude des premiers développements théoriques auxquels ont donné lieu les nombres et les figures de géométrie aux VIe et Ve siècles avant J.-C. Il met en lumière l'originalité des Grecs comparée aux procédés de calcul des Egyptiens et des Babyloniens.
LA FIGURE ET LE NOMBRE. RECHERCHES SUR LES PREMIERES MATHEMATIQUES DES GRECS -TOME 2 par Maurice CAVEING
AVERTISSEMENT LISTE DES ABBREVIATIONS INTRODUCTION GENERALE
PREMIERE PARTIE De l'intuition des figures aux premières démonstrations
INTRODUCTION CHAPITRE PREMIER : LA PERCEE DES IONIENS Section 1 :
- Les connaissances attribuées à Thalès par Proclus - Le cercle et son diamètre - Les figures isoscèles - Egalité et similitude - Les angles opposés par le sommet - La distance d'un bateau en mer - L'égalité des triangles
Section 2 :
- Les autres témoignages - Le triangle rectangle et le demi-cercle - Le cercle comparé à son rayon - La hauteur des Pyramides
Section 3 :
- Le caractère de la Géométrie ionienne - Analyse du champ intuitif - Métaporphoses et sens de la figure
CHAPITRE II : L'OEUVRE GEOMETRIQUE D'HIPPOCRATE DE CHIO Section 1 :
- Hippocrate et l'Ecole de Chio - Hippocrate astronome et géomètre - Oenopide et l'Ecole de Chio
Section 2 :
- Hippocrate et la quadrature du cercle - Les textes d'Aristote - Les mesures approchées - Le texte de Simplicius et les témoignages d'Alexandre d'Aphrodise et d'Eudème de Rhodes
Section 3 :
- Analyse du témoignage d'Eudème - Propositions préliminaires sur les aires des cercles et de leurs segments - Présentation moderne du problème des lunules - Quadrature de la première lunule : m = 2 - Quadrature de la seconde lunule : m = 3 - Quadrature de la troisième lunule : m = 3/2 - Quadrature d'une lunule et d'un cercle : le paralogisme - Les cas non traités par Hippocrate : m = 4, m = 5 et m = 5/3
Section 4 :
- L'état de la science mathématique chez Hippocrate de Chio
CONCLUSION DE LA PREMIERE PARTIE - La part des Pythagoriciens - L'orientation initiale de la Géométrie grecque
DEUXIEME PARTIE Du calcul à la philosophie du nombre
INTRODUCTION CHAPITRE III : LA QUESTION DE L'ANCIENNE LOGISTIQUE Section 1 :
- La logistique dans les Dialogues de Platon - Inventaire des textes et définitions du Charmide et du Gorgias - Les distinctions platoniciennes - La conception platonicienne et l'évolution du savoir
Section 2 :
- Les témoignages de la tradition - Scholie au Charmide - Scholies au Gorgias - Commentaires de Proclus
Section 3 :
- La logistique " pure " et les exigences du calcul - L'indivisibilité de l'unité et la thèse de J. Klein - La signification du quantième, ou comment calculer sans diviser l'unité - Des procédures égyptiennes à la notion de fraction de l'unité
CHAPITRE IV : LES TRACES DES MODES OPERATOIRES EGYPTIENS DANS L'ARITHMETIQUE GRECQUE Section 1 :
- De la notation du nombre à sa définition - Les caractères de la notation grecque - Le nombre, " pluralité d'unités "
Section 2 :
- De la duplication à la fonction de la Dyade - La duplication dans la métrologie grecque - Duplication et " genèse " des nombres - La Dyade indéterminée et l'Un des platoniciens comme principes du nombre
Section 3 :
- De la division à l'idée de proportion - Le diviseur, la partie aliquote et l'opération de mesure - La " partie " et le quantième - Les opérations sur les quantièmes et la parité - Un cas spécial : le nombre parfait - Remarques finales
CHAPITRE V : LA QUESTION DE L'ARITHMO-GEOMETRIE Section 1 :
- L'abaque et les jetons
Section 2 :
- A propos d'un emploi figuratif des jetons - Autour d'Epicharme - Scholie à Euclide, II, 11
Section 3 :
- Les nombres " figurés " - Le sens des allusions platoniciennes - Les " nombres figurés " dans Aristote
Section 4 :
- Sur quelques textes controversés - Sur deux fragments attribués à Philolaos - Le fragment de Speusippe - Aristote, Physique, 203 a 10-15
CHAPITRE VI : LES NOMBRES ET LA NATURE DES CHOSES SELON L'ANCIEN PYTHAGORISME Section 1 :
- Les sources - Critique des témoignages de la tradition
Section 2 :
- Le résumé aristotélicien de la doctrine
Section 3 :
- Les opposés - L'illimité (apeiron) et la limite (péras) - Le pair et l'impair - La Cosmologie
Section 4 :
- Les nombres et les choses - Une arithmétisation disparate - Signification physique de l'arithmo-géométrie
TROISIEME PARTE Entre logistique et géométrie
CHAPITRE VII : LA SIGNIFICATION MATHEMATIQUE ET HISTORIQUE DU LIVRE II D'EUCLIDE Section 1 :
- Le problème posé par le Livre II
Section 2 :
- Le contenu mathématique du texte euclidien - Les premiers éléments de la théorie de l'équivalence en mesure dans le Livre I d'Euclide - Le Livre II : Définitions préliminaires et Propositions 1 à 8 - Le Livre II : Les six dernières Propositions - Le Livre II et le Livre VI
Section 3 :
- L'hypothèse de l'origine purement grecque du Livre II - Le Livre II et la " section d'or " - Le Livre II et les proportions
Section 4 :
- Le Livre II contient-il une " algèbre géométrique " ? - Qu'entendre par " algèbre " ? - Sur une expression de Diophante
Section 5 :
- La genèse du Livre II
CONCLUSION GENERALE NOTE BIBLIOGRAPHIQUE INDEX RERUM INDEX NOMINUM
Ce livre est une étude des premiers développements théoriques auxquels ont donné lieu les nombres et les figures de géométrie aux VIe et Ve siècles avant J.-C. Il met en lumière l'originalité des Grecs comparée aux procédés de calcul des Egyptiens et des Babyloniens.