Les Groupes de Lie dans l'œuvre de Hermann Weyl

Traduction et commentaire de l'article " Théorie de la représentation des groupes continus semi-simples par des transformations linéaires " (1925-1926)
Christophe ECKES
Collection
Histoires de Géométries
Editeur
Presses universitaires de Nancy - Editions Universitaires de Lorraine
Date de publication
10 mars 2014
Résumé
Ce livre contient une traduction inédite de l'article sur les groupes et les algèbres de Lie semi-simples que le mathématicien Hermann Weyl (1885-1955) a publié dans la Mathematische Zeitschrift en 1925-1926. Cet article constitue l'un des principaux jalons dans l'histoire de la théorie des groupes de Lie: Weyl y combine deux méthodes distinctes empruntées à Cartan et Hurwitz. Ce faisant, Weyl démontre le théorème de complète réductibilité (pour toute algèbre de Lie semi-simple) ainsi que la formule des caractères et de la dimension pour tout groupe de Lie semi-simple.Cette traduction est accompagnée d'un commentaire exhaustif portant sur les sources, la structure et la réception de cet article. Il s'agit tout d'abord de savoir comment Weyl s'approprie les travaux respe ... Lire la suite
FORMAT
Livre broché
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Crédit
Date de première publication du titre 10 mars 2014
ISBN 9782814301801
EAN-13 9782814301801
Référence 116968-47
Nombre de pages de contenu principal 404
Format 16 x 24 x 2 cm
Poids 650 g

1. Preface by Erhard Scholz

2. Traduction de l'article de Weyl

Chapitre I. Les fondements du produit tensoriel dans la théorie des groupes
§ 1. But de l'étude
§ 2. La méthode infinitésimale de Cartan : les poids
§ 3. La méthode infinitésimale de Cartan : détermination d'une représentation irréductible par son plus haut poids
§ 4. Réalisation des représentations irréductibles
§ 5. Le théorème de complète réductibilité
S 6. Détermination des caractéristiques et des dimensions
§ 7. Relation avec le groupe symétrique et ses caractères
§ 8. Le groupe de toutes les transformations linéaires

Chapitre II. Les représentations du groupe complexe et du groupe des rotations
§ 1. Les éléments du groupe complexe. La restriction unitaire
§ 2. Représentations du groupe complexe : partie infinitésimale
§ 3. Représentations du groupe complexe : partie intégrale
§ 4. Les représentations du groupe des rotations : partie infinitésimale
§ 5. Les représentations du groupe des rotations : partie intégrale

Chapitre III. La structure des groupes semi-simples
§ 1. Concepts fondamentaux. Décomposition en fonction d'un sous-groupe résoluble maximal
§ 2. Les poids
§ 3. Le critère de Cartan pour les groupes résolubles et semi-simples
§ 4. Le groupe (S)
§ 5. La restriction unitaire

Chapitre IV. Représentation de tous les groupes semi-simples
§ 1. Les éléments du groupe
§ 2. Analysis situs. Détermination de volume. Complète réductibilité
§ 3. Détermination de la dimension et de la caractéristique d'une représentation irréductible de plus haut poids donné
§ 4. Sur la construction de toutes les représentations irréductibles
§ 5. Relation avec la théorie des invariants

Annexe

3. Commentaire de l'article de Weyl

3.1 Introduction

3.2 Les emprunts de Weyl à Cartan, Frobenius et Hurwitz
3.2.1 Cartan et les algèbres de Lie semi-simples
3.2.2 Les apports théoriques de Frobenius : caractères et représentations des groupes finis
3.2.3 L'" astuce unitaire " de Hurwitz

3.3 Unité et généralité dans l'article de Weyl de 1925-1926
3.3.1 Conditions d'élaboration et structure de l'article de Weyl
3.3.2 Un exemple paradigmatique : SL(n,C)
3.3.3 Une triple caractérisation des algèbres de Lie semi-simples complexes

3.4 Réception et prolongements
3.4.1 Cartan et Weyl
3.4.2 Weyl et la controverse sur l'" algèbre abstraite "
3.4.3 Groupes topologiques, groupes de Lie et algèbres de Lie

3.5 Conclusion : la théorie des groupes dans l'œuvre de Weyl

Bibliographie
Index

Ce livre contient une traduction inédite de l'article sur les groupes et les algèbres de Lie semi-simples que le mathématicien Hermann Weyl (1885-1955) a publié dans la Mathematische Zeitschrift en 1925-1926. Cet article constitue l'un des principaux jalons dans l'histoire de la théorie des groupes de Lie: Weyl y combine deux méthodes distinctes empruntées à Cartan et Hurwitz. Ce faisant, Weyl démontre le théorème de complète réductibilité (pour toute algèbre de Lie semi-simple) ainsi que la formule des caractères et de la dimension pour tout groupe de Lie semi-simple.Cette traduction est accompagnée d'un commentaire exhaustif portant sur les sources, la structure et la réception de cet article. Il s'agit tout d'abord de savoir comment Weyl s'approprie les travaux respectifs de Cartan, Frobenius, Hurwitz et Schur. Weyl parvient à les synthétiser dans son article qui frappe par sa profonde unité. Cette unité prend la forme d'une harmonie polyphonique entre plusieurs méthodes et domaines des mathématiques.Le texte de Weyl est ensuite étudié à partir d'une problématique contemporaine en histoire des mathématiques portant sur les questions de généralité. L'objectif est alors de montrer, à partir d'une analyse fi ne d'indices textuels, que le groupe spécial linéaire constitue un exemple paradigmatique dans cet article: l'étude de ce cas permet à Weyl d'accéder à la théorie générale des algèbres de Lie (semi-simples).S'agissant de la réception de cet article, l'auteur revient tout d'abord sur la complexité des échanges entre Cartan et Weyl au sujet des groupes de Lie à partir de 1925. Il rend ensuite compte de la controverse qui oppose Weyl à certains algébristes – Noether, van der Waerden, Artin ou encore Hasse – sur les méthodes de l'algèbre abstraite au début des années 1930. L'auteur aborde enfin le projet de réécriture de cet article inauguré par Weyl dans son cours consacré aux algèbres de Lie à l'Institute for Advanced Study (IAS, Princeton) en 1934-1935. Cette étude est fondée sur des documents inédits conservés dans les archives Weyl à l'ETH de Zürich. Cette réécriture sera prolongée par Jacobson (qui fut le premier assistant de Weyl à Princeton) et Chevalley qui, en 1946, publie la première partie d'une grande monographie sur les groupes de Lie et les groupes algébriques. Ce projet de réécriture ne saurait être décrit indépendamment du cadre institutionnel de l'université de Princeton et de l'IAS.

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