Uniformisation des surfaces de Riemann

Retour sur un théorème centenaire
Henri Paul De SAINT GERVAIS
Editeur
ENS Editions
Date de publication
10 janvier 2011
Résumé
En 1907, Paul Koebe et Henri Poincaré démontraient presque simultanément le théorème d'uniformisation :Toute surface de Riemann simplement connexe est isomorphe au plan, au disque ou à la sphère.Il a fallu tout un siècle avant d'oser énoncer ce théorème et d'en donner une démonstration convaincante, grâce au travail de Gauss, Riemann, Schwarz, Klein, Poincaré et Koebe (entre autres).Ce livre propose quelques points de vue sur la maturation de ce théorème.L'évolution du théorème d'uniformisation s'est faite en parallèle avec l'apparition de la géométrie algébrique, la création de l'analyse complexe, les premiers balbutiements de l'analyse fonctionnelle, le foisonnement de la théorie des équations différentielles linéaires, la naissance de la topologie. Le théorème d'unif ... Lire la suite
FORMAT
Livre broché
29.00 €
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Crédit
Date de première publication du titre 10 janvier 2011
ISBN 9782847882339
EAN-13 9782847882339
Référence 113063-46
Nombre de pages de contenu principal 544
Format 16 x 24 x 3 cm
Poids 952 g
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Partie A. Les surfaces de Riemann

I Travaux précurseurs
I.1 À propos du développement des nombres complexes
I.2 La cartographie
I.3 Un survol du développement des fonctions elliptiques

II Riemann
II.1 Préliminaires : fonctions holomorphes et surfaces de Riemann
II.2 Principe de Dirichlet et conséquences
II.3 Variété jacobienne et espaces de modules

III Surfaces de Riemann et Surfaces riemanniennes
III.1 Felix Klein et l'illustration de la théorie de Riemann
III.2 Retour moderne à la théorie de Riemann

IV Le travail de Schwarz
IV.1 Structure conforme sur la sphère
IV.2 Problèmes explicites de représentation conforme

Intermezzo

V La quartique de Klein
V.1 Formes modulaires, invariant j
V.2 Comment Klein paramètre sa quartique


Partie B. Méthode de continuité

VI Groupes fuchsiens
VI.1 Groupes fuchsiens, polygone fondamental et pavage hyperbolique
VI.2 Exemples
VI.3 Algébrisation d'après Poincaré
VI.4 Appendice

VII La " méthode de continuité "
VII.1 Préliminaires
VII.2 Représentations des groupes de surfaces
VII.3 Représentations réelles fidèles et discrètes
VII.4 Preuve de l'uniformisation

VIII Équations différentielles et uniformisation
VIII.1 Préliminaires : quelques aspects des équations différentielles algébriques du premier ordre
VIII.2 L'approche de Poincaré
VIII.3 Équations différentielles linéaires d'ordre 2, équations normales et équations uniformisantes
VIII.4 L'ensemble des équations normales sur une courbe fixée
VIII.5 Monodromie des équations normales et uniformisation des courbes algébriques

IX Exemples et développements
IX.1 Théorie de Fuchs locale
IX.2 Équation hypergéométrique de Gauss et liste de Schwarz
IX.3 Exemples de familles d'équations normales
IX.4 Uniformisation des sphères privées de 4 points
IX.5 Postérité

Intermezzo

X L'uniformisation des surfaces et l'équation ?g u = 2eu – f
X.1 L'uniformisation des surfaces et l'équation

En 1907, Paul Koebe et Henri Poincaré démontraient presque simultanément le théorème d'uniformisation :Toute surface de Riemann simplement connexe est isomorphe au plan, au disque ou à la sphère.Il a fallu tout un siècle avant d'oser énoncer ce théorème et d'en donner une démonstration convaincante, grâce au travail de Gauss, Riemann, Schwarz, Klein, Poincaré et Koebe (entre autres).Ce livre propose quelques points de vue sur la maturation de ce théorème.L'évolution du théorème d'uniformisation s'est faite en parallèle avec l'apparition de la géométrie algébrique, la création de l'analyse complexe, les premiers balbutiements de l'analyse fonctionnelle, le foisonnement de la théorie des équations différentielles linéaires, la naissance de la topologie. Le théorème d'uniformisation est l'un des fils conducteurs du XIXe siècle mathématique.Il ne s'agit pas de décrire l'histoire d'un théorème mais de revenir sur des preuves anciennes, de les lire avec des yeux de mathématiciens modernes, de s'interroger sur la validité de ces preuves et d'essayer de les compléter, autant que possible en respectant les connaissances de l'époque, voire, si cela s'avère nécessaire, avec des outils mathématiques modernes qui n'étaient pas à la disposition de leur auteur.Ce livre sera utile aux mathématiciens d'aujourd'hui qui souhaitent jeter un regard sur l'histoire de leur discipline. Il pourra également permetttre à des étudiants de niveau master d'accéder à ces concepts si importants de la recherche contemporaine en utilisant une voie inhabituelle." 1° que toute équation différentielle linéaire à coefficients algébriques s'intègre par les fonctions zétafuchsiennes.2° que les coordonnées des points d'une courbe algébrique quelconque s'expriment par des fonctions fuchsiennes d'une variable auxiliaire. "Henri Poincaré, le 8 août 1881

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